Contrairement au contenu du programme de cycle 3 précédent, où elle apparaissait comme un outil de modélisation à utiliser en résolution de problèmes, la proportionnalité apparaît maintenant comme un domaine à part entière. Elle doit toujours être enseignée avec des résolutions de problèmes et exclusivement dans le cadre des grandeurs, et « ne concerne pas [encore] les suites de nombres ». Aucune mention explicite n’est faite du coefficient de proportionnalité mais la phrase « l’utilisation du coefficient de proportionnalité [n’est pas] enseigné[e] au cours moyen » (programme de cycle 3 de 2025, partie cours moyen deuxième année) peut laisser comprendre que l’on peut aborder cette notion pour définir la proportionnalité de deux grandeurs en 6e. Cependant, le travail sur la proportionnalité doit être très progressif et il comportera très tôt des exercices où l’on se demande si les deux grandeurs indiquées ou que l’on repère sont proportionnelles ou non, et on reviendra régulièrement sur ce questionnement afin de donner le statut de modèle mathématique à des situations et de montrer que ce modèle correspond finalement peu souvent à des situations réelles. Comme nous allons le voir, la définition même de grandeurs proportionnelles évolue en 6e, ainsi que ses représentations et les situations étudiées.
En pratique, si la notion de proportionnalité peut être filée toute l’année, en amenant des éléments de calcul et de traitement un peu différents, on ne manquera pas d’institutionnaliser ces éléments dans une partie « leçon » claire, même basée sur des exemples.
Glissement de définition
- La première définition s’appuie sur la propriété de linéarité mais ne peut être comprise qu’à travers des exemples : « deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’elles évoluent ensemble de manière régulière. Par exemple :
– lorsque l’une des grandeurs est doublée, l’autre est doublée,
– lorsque l’une est triplée, l’autre est triplée aussi,
– lorsque l’une est divisée par deux, l’autre est divisée par deux aussi, etc. »
Ceci permet de travailler des exercices du type :
Proportionnalité ou non ? Exemple : la pointure et l’âge sont-ils des grandeurs proportionnelles ou non ? Quand l’âge double de 25 ans à 50 ans, on sait que la pointure ne va pas doubler, donc ces grandeurs ne sont pas proportionnelles.
Calcul de valeur. Par exemple : une recette de gâteau délicieux indique qu’il faut 50 g de chocolat dans un gâteau pour 3 personnes. Pour ne rien changer au goût de ce gâteau, combien de chocolat vais-je utiliser pour un plus grand gâteau pour 12 personnes ?
Le nombre de personnes passe de 3 à 12, donc il est multiplié par 4. La masse de chocolat doit être proportionnelle au nombre de personnes pour ne pas changer le goût, donc la masse doit aussi être multipliée par 4, soit 200g.
- Deuxième définition : « deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant toujours par le même nombre non nul les valeurs de l’autre. »
Ici, on mettra d’abord l’accent sur le “retour à l’unité”. Ceci est particulièrement lié aux problèmes avec une échelle graphique où la relation est définie par l’unité, c’est-à-dire où un segment-unité de 1 cm représente une mesure réelle :
- Troisième définition (définition 2 affinée) : au fur et à mesure que l’on travaille ce retour à l’unité, chaque situation fait apparaître une constante : par exemple le « prix au kilo » quand le prix est proportionnel à la masse, « nombre de battements de cœur par minute » quand le rythme cardiaque est constant et que le nombre de battements est proportionnel à la durée. Non seulement on amorce sans le dire la notion de grandeur-quotient qui sera enseignée au cycle 4, mais on donne un sens et un statut au nombre par lequel on multiplie l’unité de la grandeur « initiale » pour obtenir la valeur correspondante de l’autre grandeur, autrement dit, le coefficient de proportionnalité. Ce qui donne un prolongement de la définition : « deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant ou en divisant toujours les valeurs de l’autre par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. »
Remarque : le cas particulier de la grandeur temps (ou durée). Dans la plupart des cas, on a une grandeur « initiale » qui ne peut pas être échangée avec l’autre, que l’on considère plutôt comme une « grandeur-résultat ». Lorsque la grandeur temps intervient, c’est toujours la grandeur initiale parce qu’il avance de façon régulière, toujours au même rythme, sans qu’on puisse l’influencer. On regarde l’évolution de l’autre grandeur en fonction du temps, son évolution dépend du temps. Par exemple :
- Si on roule pendant une certaine durée, on regarde la distance parcourue pendant cette durée.
- Si on travaille pendant un certain temps, on regarde la quantité d’exercices faits pendant ce temps.
- Si on remplit une baignoire, on regarde la quantité d’eau ajoutée en fonction du temps qui passe.
Penser l’évolution progressive des représentations
En première activité, le professeur peut se contenter des résultats dont l’exactitude prouvera la bonne démarche.
Ensuite, et même si c’est un peu fastidieux pour les élèves, il est important de rédiger des solutions d’exercices avec des phrases, aussi longtemps que l’on jugera que le sens n’est pas bien acquis. Par exemple : le prix de 2,5 kg de pommes de terre est de 5 € et il est proportionnel à la masse de pommes de terre achetées.
Quand j’en prends 10 kg, j’en prends 4 fois plus, donc le prix est 4 fois plus grand aussi : 20 €.
Quand j’en prends 12,5 kg, c’est comme si je prenais 10 kg et 2,5 kg, donc le prix est celui des deux masses ajoutées, soit : 20 € + 5 € = 25 €.
Ou alors quand je prends 12,5 kg, j’en prends 5 fois plus que quand j’en prends 2,5 kg. Donc le prix est aussi 5 fois plus grand : 25 €.
Remarques :
- On écrira les unités dans les calculs pour aider à repérer les cohérences ou incohérences.
- Un grand nombre de méthodes est souvent possible, et le professeur doit s’assurer que les méthodes de tous les élèves sont prises en compte régulièrement afin de leur faire un retour positif ou non, mais seules les méthodes les plus efficaces, les plus rapides, sont explicitées devant toute la classe.
Dans la phase suivante, on proposera aux élèves de synthétiser leurs étapes en utilisant des flèches qui représentent la correspondance entre les grandeurs et entre leurs valeurs. Par exemple :
2,5 kg → 5 €
10 kg → ? €
12,5 kg → ? €
? kg → 15 €
Le professeur veillera à ce que le signe = ne soit pas employé abusivement pour faire correspondre deux grandeurs ou leurs valeurs.
La notation avec parenthèses amènera doucement vers la notation fonctionnelle qui sera vue en cycle 4 :
P(2,5 kg) = 5 €
P(10 kg) = ?
P(12,5) = ?
P(?) = 15 €
Ci-dessus, l’alignement des flèches permettra un passage aisé à la dernière phase, l’utilisation d’un tableau qui synthétise les liens entre les valeurs :
Puis par renversement :
La difficulté persistante pour les élèves est qu’ils ne prennent pas la peine de nommer correctement les grandeurs en jeu en début de ligne, avec l’unité, sachant qu’ils confondent grandeur et unité. Le programme précise que, pour chaque tableau employé, le nom de chaque grandeur, accompagné de son unité, doit figurer explicitement. Il ne s’agira donc jamais de tableaux de listes de nombres proportionnelles sans qu’elles soient rattachées à un contexte et à des grandeurs.
Pour faire le lien avec la définition 2 proposée ci-dessus, on pourra, dans certains cas où c’est particulièrement utile, ajouter la colonne correspondant à 1 kg (« retour à l’unité »). Ce n’est que plus tard, à l’occasion d’autres exercices encore et en lien avec la troisième définition, que l’on pourra matérialiser le coefficient de proportionnalité en bout de tableau avec une flèche de la première grandeur vers la seconde et le symbole de multiplication :
