Questions ouvertes

Article créé en 2008

Pour répondre à une demande faite par les participants au stage PAF sur la pratique du problème ouvert en mathématiques, nous avons créé cet espace de mutualisation de questions ouvertes testées dans nos classes de collège et lycée.

Les énoncés et activités proposés ne doivent pas être considérés comme des modèles mais comme une occasion de travailler ensemble.

Nous avons classé ces questions ouvertes par thèmes, en indiquant les niveaux auxquels il nous semble possible de les proposer.

Du numérique au littéral

Points et segments (6e > TS)

Thème : Du numérique au littéral

Niveau : Sixième à terminale S

Source :« Les narrations de recherche de l’école primaire au lycée » – IREM Montpellier

Problème :Étant donné plusieurs points sur une feuille, combien peut-on tracer de segments joignant deux quelconques de ces points ?

Fichier disponible: points et segments

Commentaire :

Proposé en narration de recherche, en 3e et en 5e (sans la ligne « n points »).

Tous les élèves ont proposé quelque chose, car ils ont pu au moins réaliser des figures pour compléter les premières lignes du tableau. Beaucoup ont très vite trouvé la relation permettant de passer d’une ligne à l’autre, mais ont remarqué qu’elle permet difficilement de trouver le nombre de segments pour n points.

Parmi ceux qui ont cherché une relation générale entre le nombre de points et le nombre de segments, beaucoup l’ont fait par observation du tableau et par essais de différentes formules. Quelques-uns sont arrivés à justifier la formule en raisonnant sur les figures (nombre des segments tracés à partir d’un point donné).

Château de cartes (4e > 1S)

Thème : Du numérique au littéral

Niveau : Quatrième à première S

Source : Les narrations de recherche de l’école primaire au lycée – IREM Montpellier

Problème : Un château de cartes est un empilage organisé de la façon suivante :

empilage

Combien faut-il de cartes pour construire 5 étages, 12 étages, 100 étages et, de manière générale, n étages ?

Fichiers disponibles :château de cartes tni

Commentaire :

Proposé en narration de recherche en classe de 3e

Les élèves ont mis en place des procédures personnelles pour compter les cartes dans des cas simples ; ils ont ensuite conjecturé une formule qu’ils ont vérifiée à l’aide de leurs premiers résultats.

Pour faire la synthèse des travaux des élèves, l’enseignant a répertorié parmi les différentes productions les méthodes pertinentes.

Disposant d’un tableau numérique, il a préparé un paperboard de plusieurs feuilles qui permettront aux élèves de présenter leur démarche devant la classe ; le choix a été fait d’illustrer les différentes procédures sur le même nombre d’étages, ce qui est ici plus clair que de travailler sur des scans de copies.

Le TNI permet de garder les traces de toutes ces procédures afin d’en faire un bilan et de montrer qu’elles aboutissent toutes au même résultat.

TNI = « Tableau Numérique Interactif »

Racine carrée et agrandissement (4e > TS)

Thème : Configurations dans le plan ; narration de recherche

Niveau : Quatrième à terminale S ; testé en classe de 3e

Source : Les narrations de recherche de l’école primaire au lycée – IREM Montpellier

Problème :

Construire deux carrés de telle sorte que l’aire du deuxième soit le double de l’aire de l’autre.

Commentaire :

Activité proposée en narration de recherche.

La plupart des élèves ont cherché une solution calculatoire : doubler la longueur du côté, multiplier par 1,5, utiliser une valeur approchée de la racine carrée. D’autres ont utilisé une solution géométrique, en découpant le carré de départ en carrés ou en triangles et en essayant de les doubler.

Configurations du plan : Bouge ou bouge pas? (4e > 2nde)

Thème : Configurations dans le plan

Niveau : Quatrième à seconde

Source : Magnard 4e

Problème :

On considère un segment [AB] et C un point quelconque n’appartenant pas à la droite (AB).
C’ est le point de [CA) tel que C’A = 6 CA.
I est le milieu de [AC’] et K est le milieu de [BC’].
(CK) coupe (AB) en M.

Le point M change-t-il de position si l’on déplace C?

Fichiers disponibles :

Commentaire :

Exercice proposé en 3e, d’abord à chercher seuls.

De nombreux élèves ont tout de suite conclu que le point M change évidemment de position, sans chercher à tester leur conjecture ; d’autres ont réalisé plusieurs figures pour voir ce qui se passait.

La synthèse avec utilisation de Geoplan a permis de valider on non les conjectures, puis de mettre en place la démonstration.

Lieux géométriques: Intersection de deux cercles (3e > TS)

Thème : Lieux géométriques

Niveau : Troisième à première S

Problème :

Soit une droite (d) et deux points A et B en dehors de cette droite. À tout point M de (d), on associe le deuxième point M’ d’intersection des cercles de centres respectifs A et B et passant par M.

Quel est le lieu de M’ quand M décrit (d) ?

Fichiers disponibles :

Voir dans l’espace : Cube et distance (3e > 1S)

Thème : Voir dans l’espace

Niveau : Troisième à première S

Source : Les narrations de recherche de l’école primaire au lycée – IREM Montpellier

Problème : ABCDEFGH est un cube d’arête 10 cm.  Combien existe-t-il de points sur les arêtes du cube à 15 cm de A ?

Fichiers disponibles :

Commentaire :

Proposé en narration de recherche en 3e.

Certains élèves ont essayé d’utiliser le compas : soit sur le cube en perspective (en ayant plus ou moins conscience de la perspective), soit sur le patron.

Certains ont même envisagé plusieurs cas selon la position du point A…

D’autres ont eu recours au théorème de Pythagore, mais se sont souvent arrêtés au calcul de la diagonale d’une face et ont conclu que ce n’était pas possible.

Plus court chemin

Triangles rectangles (4e > TS)

Thème : Plus court chemin

Niveau : Quatrième à terminale S

Problème :

ABC est un triangle rectangle en A.
M est un point de l’hypoténuse [BC].
On trace par M les perpendiculaires aux côtés [AB] et [AC] qui coupent ces côtés respectivement aux points P et Q.

Où placer le point M pour que la distance PQ soit minimale ?

Fichiers disponibles :

Commentaire :

Proposé en 4e, d’abord à chercher seuls.

Presque tous les élèves ont eu l’idée de réaliser plusieurs figures, avec le même triangle de départ, mais en modifiant la position de M. Des conjectures très diverses ont été proposées car beaucoup ont cherché à caractériser la position de M par sa position sur le segment [BC] (M doit être au milieu, au quart, au tiers… du segment [BC], sur la bissectrice de l’angle BAC, sur la hauteur issue de A…).

La synthèse avec Geoplan a permis de valider ou non les conjectures, puis de mettre en place la démonstration, en faisant apparaître la deuxième diagonale du rectangle APMQ.

 

Proposé en temps libre en terminale avec la possibilité de travailler par deux ou trois et de ne rendre qu’une copie pour le groupe.

Sur plus de la moitié des copies, une solution est proposée avec de la géométrie analytique. Dans le repère

rep
L’équation de la droite (BC) permet d’écrire les coordonnées de M puis celles de P et Q et enfin . Il reste à étudier le minimum d’une fonction trinôme…
La synthèse des démarches était instructive…

Bibi la souris (4e > TS)

Thème : Plus court chemin

Niveau : Quatrième à terminale S

Source : Dimathème 4e

Problème :

SABCD est une pyramide à base carrée de 6 cm de côté et dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux.

Bibi la souris doit se rendre par le chemin le plus court du point A au point J, milieu de [SC], en se déplaçant à la surface de la pyramide.

Trouver la position de T sur l’arête [SB] qui donne le plus court chemin, ainsi que la longueur de ce trajet.

Fichiers disponibles :

Commentaire :

Activité proposée en temps libre en terminale.

Certains élèves ont cherché à exprimer la distance AJ en fonction de x = BT, ce qui conduit à l’étude des variations d’une fonction irrationnelle…

Puissances (4e > TS)

Thème : Arithmétique

Niveau : Quatrième à terminale S

Source : Les narrations de recherche de l’école primaire au lycée – IREM Montpellier

Problème :

Si je calcule 131, le chiffre des unités est 3.
Si je calcule 132, le chiffre des unités est 9.
Quel est le chiffre des unités de 133, 134, 135 ?
Quel est le chiffre des unités de 132006 ?

Commentaire :

Activité proposée en narration de recherche en 4e.

Beaucoup d’élèves ont pensé qu’il suffisait de trouver le chiffre des unités de 36, ce qui ici donne la solution, mais qui ne peut bien sûr pas se généraliser ; cela a pu être abordé lors de la correction à l’aide de contre-exemples.

Plusieurs élèves ont remarqué la périodicité des chiffres, et ont trouvé la solution à l’aide d’une division euclidienne.

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