{"id":2391,"date":"2016-10-27T14:59:53","date_gmt":"2016-10-27T13:59:53","guid":{"rendered":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/?p=2391"},"modified":"2023-05-23T15:27:52","modified_gmt":"2023-05-23T14:27:52","slug":"banque-de-questions-ouvertes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/banque-de-questions-ouvertes\/","title":{"rendered":"Banque de questions ouvertes"},"content":{"rendered":"<p>Pour r\u00e9pondre \u00e0 une demande faite par les participants au stage PAF sur la pratique du probl\u00e8me ouvert en math\u00e9matiques, nous avons cr\u00e9\u00e9 cet espace de mutualisation de <span class=\"em_coul\">questions ouvertes test\u00e9es dans nos classes de coll\u00e8ge et lyc\u00e9e<\/span>.<\/p>\n<p>Les \u00e9nonc\u00e9s et activit\u00e9s propos\u00e9s ne doivent pas \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme des mod\u00e8les mais comme une occasion de travailler ensemble.<\/p>\n<p>Si vous avez exp\u00e9riment\u00e9 d&#8217;autres sujets, vous pouvez les transmettre avec quelques commentaires sur la mise en \u0153uvre et les r\u00e9actions des \u00e9l\u00e8ves \u00e0 <a href=\"mailto:referentmath02@ac-bordeaux.fr\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">referentmath02@ac-bordeaux.fr <\/a><\/p>\n<p>Nous avons class\u00e9 ces questions ouvertes par th\u00e8mes, en indiquant les niveaux auxquels il nous semble possible de les proposer.<\/p>\n<h1 class=\"Titre1\">Du num\u00e9rique au litt\u00e9ral<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Points et segments <span class=\"PetitInLine\">(6<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3>Source<\/h3>\n<p class=\"P1\">\u00ab Les narrations de recherche de l\u2019\u00e9cole primaire au lyc\u00e9e \u00bb \u2013 IREM Montpellier<\/p>\n<h3>Probl\u00e8me<\/h3>\n<p class=\"P1\">\u00c9tant donn\u00e9 plusieurs points sur une feuille, combien peut-on tracer de segments joignant deux quelconques de ces points ?<\/p>\n<h3>Fichiers disponibles<\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/points_et_segments.pdf\">Fiche d&#8217;activit\u00e9 points et segments<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h3>Commentaires<\/h3>\n<p class=\"P1\">Propos\u00e9 en narration de recherche, en 3<sup>e<\/sup> et en 5<sup>e<\/sup> (sans la ligne \u00ab n points \u00bb).<\/p>\n<p class=\"P1\">Tous les \u00e9l\u00e8ves ont propos\u00e9 quelque chose, car ils ont pu au moins r\u00e9aliser des figures pour compl\u00e9ter les premi\u00e8res lignes du tableau. Beaucoup ont tr\u00e8s vite trouv\u00e9 la relation permettant de passer d\u2019une ligne \u00e0 l\u2019autre, mais ont remarqu\u00e9 qu\u2019elle permet difficilement de trouver le nombre de segments pour n points.<\/p>\n<p class=\"P1\">Parmi ceux qui ont cherch\u00e9 une relation g\u00e9n\u00e9rale entre le nombre de points et le nombre de segments, beaucoup l\u2019ont fait par observation du tableau et par essais de diff\u00e9rentes formules. Quelques-uns sont arriv\u00e9s \u00e0 justifier la formule en raisonnant sur les figures (nombre des segments trac\u00e9s \u00e0 partir d\u2019un point donn\u00e9)<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Ch\u00e2teau de cartes <span class=\"PetitInLine\">(4<sup>e<\/sup> &gt; 1S)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Source<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroNormal\">Les narrations de recherche de l\u2019\u00e9cole primaire au lyc\u00e9e \u2013 IREM Montpellier<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">\u00a0Un ch\u00e2teau de cartes est un empilage organis\u00e9 de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n<p class=\"IntroP1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/num_lit\/chateau_de_cartes\/chateau_de_cartes.gif\" alt=\"empilage\" width=\"400\" height=\"111\" \/><\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Combien faut-il de cartes pour construire 5 \u00e9tages, 12 \u00e9tages, 100 \u00e9tages et, de mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, n \u00e9tages ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\">\u00a0<span class=\"IntroFond\">Fichiers disponibles<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><span class=\"PetitInLine\"><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/chateau_de_cartes_tni.pdf\">Correction du probl\u00e8me ch\u00e2teau de cartes en classe \u00e0 l\u2019aide du TNI <\/a><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"IntroNormal\">\u00a0<span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Propos\u00e9 en narration de recherche en classe de 3<sup>e<\/sup><\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Les \u00e9l\u00e8ves ont mis en place des proc\u00e9dures personnelles pour compter les cartes dans des cas simples ; ils ont ensuite conjectur\u00e9 une formule qu&#8217;ils ont v\u00e9rifi\u00e9e \u00e0 l&#8217;aide de leurs premiers r\u00e9sultats.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Pour faire la synth\u00e8se des travaux des \u00e9l\u00e8ves, l&#8217;enseignant a r\u00e9pertori\u00e9 parmi les diff\u00e9rentes productions les m\u00e9thodes pertinentes.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Disposant d\u2019un tableau num\u00e9rique, il a pr\u00e9par\u00e9 un paperboard de plusieurs feuilles qui permettront aux \u00e9l\u00e8ves de pr\u00e9senter leur d\u00e9marche devant la classe ; le choix a \u00e9t\u00e9 fait d&#8217;illustrer les diff\u00e9rentes proc\u00e9dures sur le m\u00eame nombre d&#8217;\u00e9tages, ce qui est ici plus clair que de travailler sur des scans de copies.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Le TNI permet de garder les traces de toutes ces proc\u00e9dures afin d&#8217;en faire un bilan et de montrer qu&#8217;elles aboutissent toutes au m\u00eame r\u00e9sultat.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">TNI = \u00ab Tableau Num\u00e9rique Interactif<\/p>\n<h1 class=\"P2\">Configurations du plan<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Agrandissement <span class=\"PetitInLine\">(4<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Source<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroNormal\">Les narrations de recherche de l\u2019\u00e9cole primaire au lyc\u00e9e \u2013 IREM Montpellier<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Construire deux carr\u00e9s de telle sorte que l\u2019aire du deuxi\u00e8me soit le double de l\u2019aire de l\u2019autre.<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en narration de recherche.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">La plupart des \u00e9l\u00e8ves ont cherch\u00e9 une solution calculatoire : doubler la longueur du c\u00f4t\u00e9, multiplier par 1,5, utiliser une valeur approch\u00e9e de la racine carr\u00e9e. D\u2019autres ont utilis\u00e9 une solution g\u00e9om\u00e9trique, en d\u00e9coupant le carr\u00e9 de d\u00e9part en carr\u00e9s ou en triangles et en essayant de les doubler.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Aire maximale <span class=\"PetitInLine\">(1<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">ABCD est un carr\u00e9 de 4 cm de c\u00f4t\u00e9. E est le milieu de [AD].<br \/>\nOn consid\u00e8re un point M du segment [AB].<br \/>\nLa perpendiculaire en M \u00e0 la droite (EM) coupe le segment [BC] en N.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">D\u00e9terminer pour quelle(s) position(s) de M sur [AB] l\u2019aire du triangle EMN est maximale.<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><span class=\"PetitInLine\"><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/aire_maximale-1.zip\"> Fichiers aire maximale Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Exercice donn\u00e9 en d\u00e9but d\u2019ann\u00e9e de terminale S, d\u2019abord \u00e0 chercher seuls (beaucoup de difficult\u00e9s !), puis cherch\u00e9 par groupes de deux en demi-classe.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Bouge ou bouge pas ? <span class=\"PetitInLine\">(4<sup>e<\/sup> &gt; 2<sup>e<\/sup>)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Source<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroNormal\">Magnard 4<sup>e<\/sup><\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">On consid\u00e8re un segment [AB] et C un point quelconque n&#8217;appartenant pas \u00e0 la droite (AB).<br \/>\nC&#8217; est le point de [CA) tel que C&#8217;A = 6 CA.<br \/>\nI est le milieu de [AC&#8217;] et K est le milieu de [BC&#8217;].<br \/>\n(CK) coupe (AB) en M.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Le point M change-t-il de position si l&#8217;on d\u00e9place C ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/bouge_ou_pas.zip\">Fichiers bouge ou bouge pas Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><span class=\"PetitInLine\"><br \/>\n<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Exercice propos\u00e9 en 3<sup>e<\/sup>, d&#8217;abord \u00e0 chercher seuls.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">De nombreux \u00e9l\u00e8ves ont tout de suite conclu que le point M change \u00e9videmment de position, sans chercher \u00e0 tester leur conjecture ; d&#8217;autres ont r\u00e9alis\u00e9 plusieurs figures pour voir ce qui se passait.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">La synth\u00e8se avec utilisation de Geoplan a permis de valider on non les conjectures, puis de mettre en place la d\u00e9monstration.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Carr\u00e9-Triangle <span class=\"PetitInLine\">(2<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">On consid\u00e8re un carr\u00e9 direct ABCD du plan orient\u00e9.<br \/>\n\u00c0 tout point M du segment [AB] priv\u00e9 de A, on associe le point P tel que le triangle APM soit direct, rectangle et isoc\u00e8le en A.<br \/>\nConjecturer le r\u00e9sultat relatif \u00e0 la position des droites (BP) et (DM), puis le d\u00e9montrer.<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><span class=\"PetitInLine\"><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/carre_triangle.zip\">Fichiers Carr\u00e9-Ttriangle Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><br \/>\n<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Donn\u00e9e en terminale, cette question ouverte a \u00e9t\u00e9 trait\u00e9e en classe : recherche individuelle pendant 20 minutes, \u00e0 r\u00e9diger sur feuille.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Trois m\u00e9thodes ont \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9es : rotation de centre A et d\u2019angle pi\/2, calcul vectoriel et produit scalaire, choix d\u2019un rep\u00e8re orthonormal.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">L\u2019orthocentre ou des triangles semblables ou isom\u00e9triques \u00e9taient d\u2019autres pistes possibles.<\/p>\n<h1 class=\"Titre1\">Lieux g\u00e9om\u00e9triques<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Intersection de deux cercles <span class=\"PetitInLine\">(3<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Soit une droite (d) et deux points A et B en dehors de cette droite. \u00c0 tout point M de (d), on associe le deuxi\u00e8me point M\u2019 d\u2019intersection des cercles de centres respectifs A et B et passant par M.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Quel est le lieu de M\u2019 quand M d\u00e9crit (d) ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\">\u00a0<span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/intersec2cercles.zip\">Fichiers intersection de deux cercles Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"P2\">Points mobiles <span class=\"PetitInLine\">(1<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">On consid\u00e8re un segment [AB] et M un point mobile sur ce segment.<br \/>\nDans l\u2019un des demi-plans de fronti\u00e8re (AB), on construit K et L tels que AKM et MLB soient rectangles isoc\u00e8les respectivement en K et L.<br \/>\nI est le milieu de [KL]<br \/>\nComment I se d\u00e9place-t-il lorsque M se d\u00e9place sur [AB] ?<\/p>\n<p class=\"IntroNormal\">\u00a0<span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/p>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><span class=\"PetitInLine\"><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/points_mobiles.zip\">Fichiers points mobiles Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><br \/>\n<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"P2\">Un lieu de points <span class=\"PetitInLine\">(2<sup>e<\/sup> &gt; 1<sup>e<\/sup>S)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">On consid\u00e8re trois points O, A et B.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Un point M se d\u00e9place sur le cercle de diam\u00e8tre [AB], et un point N se d\u00e9place simultan\u00e9ment de fa\u00e7on que le triangle MON reste rectangle et isoc\u00e8le en O, les points O, M et N se lisant dans le sens des aiguilles d\u2019une montre.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Sur quelle ligne le point N se d\u00e9place-t-il ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\">\u00a0<span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/un_lieu_de_points.zip\">Fichiers Un lieu de points Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h1 class=\"Titre1\">Voir dans l&#8217;espace<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Cube et distance <span class=\"PetitInLine\">(3<sup>e<\/sup> &gt; 1S)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Source<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroNormal\">Les narrations de recherche de l\u2019\u00e9cole primaire au lyc\u00e9e \u2013 IREM Montpellier<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\">\u00a0<span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">ABCDEFGH est un cube d\u2019ar\u00eate 10 cm.<br \/>\nCombien existe-t-il de points sur les ar\u00eates du cube \u00e0 15 cm de A ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul>\n<li class=\"IntroNormal\"><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/cube_dist.zip\">Fichiers Cube et distance Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Propos\u00e9 en narration de recherche en 3<sup>e<\/sup>.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Certains \u00e9l\u00e8ves ont essay\u00e9 d\u2019utiliser le compas : soit sur le cube en perspective (en ayant plus ou moins conscience de la perspective), soit sur le patron.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Certains ont m\u00eame envisag\u00e9 plusieurs cas selon la position du point A\u2026<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">D\u2019autres ont eu recours au th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, mais se sont souvent arr\u00eat\u00e9s au calcul de la diagonale d\u2019une face et ont conclu que ce n\u2019\u00e9tait pas possible.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Parall\u00e9lisme dans l&#8217;espace <span class=\"PetitInLine\">(2<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">K et L sont deux points sur les ar\u00eates [EH] et [EF] du parall\u00e9l\u00e9pip\u00e8de rectangle ABCDEFGH.<br \/>\nLes droites (AK) et (DH) se coupent en M.<br \/>\nLes droites (AL) et (BF) se coupent en N.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Comment doivent \u00eatre plac\u00e9s les points K et L pour que les droites (KL) et (MN) soient parall\u00e8les ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><span class=\"PetitInLine\"><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/parallelisme_espace.zip\">Fichiers Parall\u00e9lisme dans l&#8217;espace Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"P2\">Grand angle <span class=\"PetitInLine\">(TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Source<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroNormal\">Probl\u00e8mes \u00e0 chercher \u2013 IREM Grenoble<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">On consid\u00e8re un cube ABCDEF. Pour fixer les id\u00e9es, faire un dessin en perspective cavali\u00e8re avec ABCD face de dessous, ABFE face avant et EFGH face de dessus.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Pour quelle position du point M sur la diagonale (HB), l\u2019angle AMC est-il le plus grand ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/grand_angle.zip\"> Fichiers Grand angle Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><span class=\"PetitInLine\"><br \/>\n<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Travail de groupe en TD.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Les \u00e9l\u00e8ves disposent du logiciel Geospace (une rapide pr\u00e9sentation du logiciel a \u00e9t\u00e9 faite \u00e0 cette occasion) et de deux fiches (travail \u00e0 effectuer et fiche de synth\u00e8se).<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">La r\u00e9daction d\u2019une solution a fait l\u2019objet d\u2019un travail \u00e0 la maison.<\/p>\n<h1 class=\"Titre1\">Plus court chemin<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Triangles rectangles <span class=\"PetitInLine\">(4<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">ABC est un triangle rectangle en A.<br \/>\nM est un point de l\u2019hypot\u00e9nuse [BC].<br \/>\nOn trace par M les perpendiculaires aux c\u00f4t\u00e9s [AB] et [AC] qui coupent ces c\u00f4t\u00e9s respectivement aux points P et Q.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">O\u00f9 placer le point M pour que la distance PQ soit minimale ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/triangles_rectangles.zip\">Fichiers triangles rectangles Activit\u00e9, G\u00e9oplan, GeoGebra<\/a><\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Propos\u00e9 en 4<sup>e<\/sup>, d\u2019abord \u00e0 chercher seuls.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Presque tous les \u00e9l\u00e8ves ont eu l\u2019id\u00e9e de r\u00e9aliser plusieurs figures, avec le m\u00eame triangle de d\u00e9part, mais en modifiant la position de M. Des conjectures tr\u00e8s diverses ont \u00e9t\u00e9 propos\u00e9es car beaucoup ont cherch\u00e9 \u00e0 caract\u00e9riser la position de M par sa position sur le segment [BC] (M doit \u00eatre au milieu, au quart, au tiers\u2026 du segment [BC], sur la bissectrice de l\u2019angle BAC, sur la hauteur issue de A\u2026).<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">La synth\u00e8se avec Geoplan a permis de valider ou non les conjectures, puis de mettre en place la d\u00e9monstration, en faisant appara\u00eetre la deuxi\u00e8me diagonale du rectangle APMQ.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">\u00a0Propos\u00e9 en temps libre en terminale avec la possibilit\u00e9 de travailler par deux ou trois et de ne rendre qu\u2019une copie pour le groupe.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Sur plus de la moiti\u00e9 des copies, une solution est propos\u00e9e avec de la g\u00e9om\u00e9trie analytique. Dans le rep\u00e8re<\/p>\n<p class=\"IntroP1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/plus_court\/triangles_rectangles\/triangles_rectangles.gif\" alt=\"rep\" width=\"280\" height=\"48\" \/><br \/>\nL\u2019\u00e9quation de la droite (BC) permet d\u2019\u00e9crire les coordonn\u00e9es de M puis celles de P et Q et enfin . Il reste \u00e0 \u00e9tudier le minimum d\u2019une fonction trin\u00f4me\u2026<br \/>\nLa synth\u00e8se des d\u00e9marches \u00e9tait instructive\u2026<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Bibi la souris <span class=\"PetitInLine\">(4<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Source<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroNormal\">Dimath\u00e8me 4<sup>e<\/sup><\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">SABCD est une pyramide \u00e0 base carr\u00e9e de 6 cm de c\u00f4t\u00e9 et dont les faces lat\u00e9rales sont des triangles \u00e9quilat\u00e9raux.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Bibi la souris doit se rendre par le chemin le plus court du point A au point J, milieu de [SC], en se d\u00e9pla\u00e7ant \u00e0 la surface de la pyramide.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Trouver la position de T sur l\u2019ar\u00eate [SB] qui donne le plus court chemin, ainsi que la longueur de ce trajet.<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Fichier disponible<\/span><\/h3>\n<ul class=\"niv1\">\n<li><a href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2016\/10\/bibi.zip\">Fichiers Bibi la souris Activit\u00e9, G\u00e9ospace<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en temps libre en terminale.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Certains \u00e9l\u00e8ves ont cherch\u00e9 \u00e0 exprimer la distance AJ en fonction de x = BT, ce qui conduit \u00e0 l\u2019\u00e9tude des variations d\u2019une fonction irrationnelle\u2026<\/p>\n<h1 class=\"Titre1\">Arithm\u00e9tique<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Puissances <span class=\"PetitInLine\">(4<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Source<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroNormal\">Les narrations de recherche de l\u2019\u00e9cole primaire au lyc\u00e9e \u2013 IREM Montpellier<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Si je calcule 13<sup>1<\/sup>, le chiffre des unit\u00e9s est 3.<br \/>\nSi je calcule 13<sup>2<\/sup>, le chiffre des unit\u00e9s est 9.<br \/>\nQuel est le chiffre des unit\u00e9s de 13<sup>3<\/sup>, 13<sup>4<\/sup>, 13<sup>5<\/sup> ?<br \/>\nQuel est le chiffre des unit\u00e9s de 13<sup>2006<\/sup> ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en narration de recherche en 4<sup>e<\/sup>.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Beaucoup d\u2019\u00e9l\u00e8ves ont pens\u00e9 qu\u2019il suffisait de trouver le chiffre des unit\u00e9s de 36, ce qui ici donne la solution, mais qui ne peut bien s\u00fbr pas se g\u00e9n\u00e9raliser ; cela a pu \u00eatre abord\u00e9 lors de la correction \u00e0 l\u2019aide de contre-exemples.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Plusieurs \u00e9l\u00e8ves ont remarqu\u00e9 la p\u00e9riodicit\u00e9 des chiffres, et ont trouv\u00e9 la solution \u00e0 l\u2019aide d\u2019une division euclidienne.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">D\u00e9composition de 1 <span class=\"PetitInLine\">(TS)<\/span><\/h2>\n<h3>Probl\u00e8me<\/h3>\n<p class=\"P1\">Soit un entier naturel <em>n<\/em> &gt;= 3<br \/>\nPeut-on \u00e9crire 1 sous la forme de la somme des inverses de n entiers naturels distincts deux \u00e0 deux ?<br \/>\nAutrement dit, existe-t-il <em>n<\/em> entiers diff\u00e9rents deux \u00e0 deux, tels que :<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/arithm\/decomp_de_1\/decomposition_de_1.gif\" alt=\"formule\" width=\"131\" height=\"43\" \/><\/p>\n<h3 class=\"P1\">Commentaires<\/h3>\n<p class=\"P1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en devoir maison.<\/p>\n<p class=\"P1\">Tous les \u00e9l\u00e8ves ont exp\u00e9riment\u00e9, mais la plupart ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9munis pour r\u00e9diger une solution.<br \/>\nCertains ont pens\u00e9 \u00e0 mettre en \u0153uvre un raisonnement par r\u00e9currence.<\/p>\n<h1 class=\"Titre1\">Suites<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Suite avec racine <span class=\"PetitInLine\">(TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/suites\/suite_avec_racine\/suite_avec_racine.gif\" alt=\"suite\" width=\"333\" height=\"110\" \/><\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Un des premiers exemples de l\u2019ann\u00e9e, propos\u00e9 en classe enti\u00e8re, apr\u00e8s acquisition du raisonnement par r\u00e9currence (on peut aussi utiliser un raisonnement \u00ab de proche en proche \u00bb comme en 1re S).<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Certains exp\u00e9rimentent spontan\u00e9ment num\u00e9riquement ; d\u2019autres se lancent dans le trac\u00e9 de la courbe repr\u00e9sentant la fonction <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/suites\/suite_avec_racine\/suite_avec_racine_2.gif\" alt=\"rac(1+x2)\" width=\"83\" height=\"28\" align=\"absmiddle\" \/>.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">n3n8 <span class=\"PetitInLine\">(1<sup>e<\/sup> &gt; TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">On pose :<\/p>\n<p class=\"IntroP1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/suites\/n3n8\/n3n8.gif\" alt=\"n3n8\" width=\"378\" height=\"45\" \/><\/p>\n<p class=\"IntroP1\">La suite (<em>u<sub>n<\/sub><\/em>) est-elle convergente ? Si oui, d\u00e9terminer sa limite.<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en terminale apr\u00e8s avoir trait\u00e9 le raisonnement par r\u00e9currence et les suites monotones born\u00e9es, mais longtemps apr\u00e8s&#8230;<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Recherche effectu\u00e9e en demi-groupe<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">D\u00e8s le d\u00e9but les \u00e9l\u00e8ves ont eu l\u2019intuition que cette suite convergeait vers 4\/3.<\/p>\n<h1 class=\"Titre1\">Fonctions<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Racine dans R d&#8217;un polyn\u00f4me de degr\u00e9 trois <span class=\"PetitInLine\">(TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Tout polyn\u00f4me de degr\u00e9 trois admet-il une racine dans R ?<br \/>\nUne tentative de g\u00e9n\u00e9ralisation ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en temps libre.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Inflexion impaire <span class=\"PetitInLine\">(TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">1. Tracer la courbe repr\u00e9sentative de la fonction d\u00e9finie par <em>f<\/em>(<em>x<\/em>)\u00a0=<em>\u00a0x<\/em><sup>3<\/sup> dans un rep\u00e8re du plan d\u2019origine O et \u00e9tudier la position de cette courbe par rapport \u00e0 sa tangente en O.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">2. On consid\u00e9re une fonction <em>f<\/em> impaire et d\u00e9rivable sur R. Sa courbe repr\u00e9sentative traverse-t-elle sa tangente au point d\u2019abscisse z\u00e9ro ?<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en temps libre.<\/p>\n<h2 class=\"P2\">Position relative <span class=\"PetitInLine\">(TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Tracer les courbes repr\u00e9sentatives respectives des fonctions<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/fonctions\/position_relative\/position_relative.gif\" alt=\"fonc\" width=\"138\" height=\"41\" \/><\/p>\n<p class=\"IntroP1\">en justifiant ces trac\u00e9s.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Quelle conjecture peut-on faire quant aux positions respectives de ces deux courbes ?<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">D\u00e9montrer la propri\u00e9t\u00e9 observ\u00e9e.<\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Activit\u00e9 propos\u00e9e en demi-groupe, apr\u00e8s l\u2019\u00e9tude de la croissance compar\u00e9e de la fonction exponentielle et de la fonction identique.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Pour la premi\u00e8re question, les \u00e9l\u00e8ves doivent d\u00e9terminer seuls ce qui est n\u00e9cessaire pour tracer avec certitude les courbes.<\/p>\n<h1 class=\"P2\">Int\u00e9grales<\/h1>\n<h2 class=\"P2\">Lien entre int\u00e9grales <span class=\"PetitInLine\">(TS)<\/span><\/h2>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Probl\u00e8me<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Soit a un r\u00e9el de ]\u00a00\u00a0;\u00a01\u00a0[.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Peut-on \u00e9tablir une relation entre<\/p>\n<p class=\"IntroP1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/mathematiques.ac-bordeaux.fr\/pedalyc\/qo\/integrales\/lien_int_ln_exp\/lien_int_ln_exp.gif\" alt=\"int\" width=\"160\" height=\"53\" \/><\/p>\n<h3 class=\"IntroNormal\"><span class=\"IntroFond\">Commentaires<\/span><\/h3>\n<p class=\"IntroP1\">Propos\u00e9 en demi-groupe apr\u00e8s la premi\u00e8re partie du cours sur l\u2019int\u00e9grale mais avant d\u2019avoir trait\u00e9 l\u2019int\u00e9gration par parties, cet exercice peut aussi \u00eatre propos\u00e9 en temps libre. Avec un tr\u00e8s bon groupe, il peut m\u00eame \u00eatre propos\u00e9 en devoir surveill\u00e9.<\/p>\n<p class=\"IntroP1\">Interpr\u00e9tation en termes d\u2019aire. Les \u00e9l\u00e8ves savent que les courbes des fonctions ln et exp sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la premi\u00e8re bissectrice du rep\u00e8re.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Pour r\u00e9pondre \u00e0 une demande faite par les participants au stage PAF sur la pratique du probl\u00e8me ouvert en math\u00e9matiques, nous avons cr\u00e9\u00e9 cet espace de mutualisation de questions ouvertes test\u00e9es dans nos classes de coll\u00e8ge et lyc\u00e9e. Les \u00e9nonc\u00e9s et activit\u00e9s propos\u00e9s ne doivent pas \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme des mod\u00e8les mais comme une occasion &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/banque-de-questions-ouvertes\/\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":351,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_bbp_topic_count":0,"_bbp_reply_count":0,"_bbp_total_topic_count":0,"_bbp_total_reply_count":0,"_bbp_voice_count":0,"_bbp_anonymous_reply_count":0,"_bbp_topic_count_hidden":0,"_bbp_reply_count_hidden":0,"_bbp_forum_subforum_count":0,"footnotes":""},"categories":[23,22],"tags":[120,121,119],"class_list":["post-2391","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-seconde","category-lycee","tag-ouvert","tag-prise-dinitiative","tag-probleme","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2391","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/users\/351"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2391"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2391\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3053,"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2391\/revisions\/3053"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2391"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2391"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2391"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}