Les six comp\u00e9tences math\u00e9matiques sont toujours au programme du cycle 3 de 2025. Ainsi, le professeur s\u2019attachera \u00e0 distinguer en formation comme en \u00e9valuation, le raisonnement et la communication du raisonnement. De plus, il n\u2019aura que tr\u00e8s peu d\u2019exigence sur la communication \u00e9crite en 6e<\/sup>. L\u2019enseignement sera donc bas\u00e9 sur beaucoup d\u2019oral et d\u2019efforts de reformulation que l\u2019on demandera aux \u00e9l\u00e8ves.<\/p>\n\n\n\n Pour bien raisonner, on apprendra aux \u00e9l\u00e8ves \u00e0 rep\u00e9rer les informations (texte, codages, r\u00e9sultats des \u00e9tapes pr\u00e9c\u00e9dentes) ; \u00e0 distinguer ces informations de ce \u00e0 quoi ressemble la figure et qui ne pourrait donner lieu qu\u2019\u00e0 des conjectures ; \u00e0 distinguer ce que l\u2019on sait et ce que l\u2019on cherche \u00e0 prouver ; \u00e0 faire le lien entre ces deux types d\u2019\u00e9l\u00e9ments en passant par des d\u00e9finitions ou propri\u00e9t\u00e9s connues ; \u00e0 ne pas s\u2019appuyer sur un ou quelques exemples pour conclure qu\u2019un r\u00e9sultat est toujours vrai.<\/p>\n\n\n\n Raisonnement utilisant la distance d\u2019un point \u00e0 un autre : raisonner pour construire<\/strong><\/p>\n\n\n\n Le fascicule R\u00e9solution de probl\u00e8mes au coll\u00e8ge<\/a> mentionne un type d\u2019exercices important pour les apprentissages en g\u00e9om\u00e9trie\u00a0: des exercices qui font \u00ab\u00a0raisonner pour construire\u00a0\u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire dans lesquels la consigne est simplement de construire une figure dont on donne suffisamment d\u2019\u00e9l\u00e9ments, mais qui ne pourra pas \u00eatre mise en \u0153uvre sans avoir au pr\u00e9alable conduit un petit raisonnement. Celui-ci doit s\u2019appuyer sur un sch\u00e9ma cod\u00e9 que l\u2019on impose de faire \u00e0 l\u2019\u00e9l\u00e8ve.<\/p>\n\n\n\n Si l\u2019on demande de construire un triangle IJK rectangle en J tel que JK = 5 cm et IK\u00a0=\u00a06,5\u00a0cm, en utilisant les donn\u00e9es dans l\u2019ordre, les \u00e9l\u00e8ves n\u2019auront pas de difficult\u00e9 particuli\u00e8re \u00e0 tracer le segment [JK], puis \u00e0 construire la perpendiculaire passant par J et ils tenteront de faire tourner leur r\u00e8gle avec le 0 plac\u00e9 sur K jusqu\u2019\u00e0 ce que la graduation de 6,5\u00a0cm co\u00efncide avec la perpendiculaire. Le professeur et eux constateront que la construction peut \u00eatre tout \u00e0 fait acceptable en comparant avec un calque, mais qu\u2019il n\u2019y a pas de trait de construction. C\u2019est le professeur qui invalide la m\u00e9thode en mentionnant que les usages de la r\u00e8gle qui ont \u00e9t\u00e9 \u00e9tablis ne sont pas respect\u00e9s (voir par exemple le fascicule sur la restauration de figures de l\u2019IREM de Bordeaux<\/a>). Il lui faut alors faire \u00e9tudier le sch\u00e9ma cod\u00e9 \u00e0 la classe en le faisant dessiner au tableau. Il fera formuler qu\u2019\u00e0 la troisi\u00e8me \u00e9tape, on cherche \u00e0 placer un point sur la perpendiculaire qui soit aussi \u00e0 6,5 cm de K, ce qui est reformul\u00e9 peu \u00e0 peu en \u00ab\u00a0le point I est le point d\u2019intersection de la perpendiculaire et du cercle de centre K et de rayon 6,5 cm\u00a0\u00bb. Aucun texte ne sera \u00e9crit pour retranscrire ce raisonnement, mais, tant que c\u2019est n\u00e9cessaire pour ce type d\u2019exercice, le professeur fera noter le programme de construction qui mentionnera les outils utilis\u00e9s et explicitera que les traits de construction doivent \u00eatre conserv\u00e9s mais trac\u00e9s fins pour ne pas surcharger la figure.<\/p>\n\n\n\n Un autre exemple (dans le rectangle mais se ramenant \u00e0 un triangle rectangle comme dans ce qui est propos\u00e9 ci-dessus) est donn\u00e9 page 153 du fascicule R\u00e9solution de probl\u00e8mes au coll\u00e8ge<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Raisonnement utilisant la somme des angles d\u2019un triangle : raisonner pour construire<\/strong><\/p>\n\n\n\n Par exemple, apr\u00e8s avoir demand\u00e9 de construire, \u00e0 la r\u00e8gle et au rapporteur, un triangle isoc\u00e8le dont on donne la mesure de la base et celle d\u2019un angle \u00e0 la base, on propose \u00e0 l\u2019exercice suivant :<\/p>\n\n\n\n \u00ab Construire le triangle ABC isoc\u00e8le en A tel que : BC = 4 cm et Voir article La g\u00e9om\u00e9trie perceptive en 6e<\/sup> <\/a>(lien)<\/p>\n\n\n\n Ce sch\u00e9ma cod\u00e9 montre \u00e0 l\u2019\u00e9l\u00e8ve que, m\u00eame s\u2019il peut tracer [BC], la base du triangle, il ne peut pas placer son rapporteur pour mesurer l\u2019angle Ici aussi, le sch\u00e9ma cod\u00e9 est analys\u00e9 et permet le raisonnement utilisant la propri\u00e9t\u00e9 de la somme des angles d\u2019un triangle.<\/p>\n\n\n\n Le raisonnement est une partie indispensable de la r\u00e9ponse mais son \u00e9criture est complexe en 6e<\/sup>. Il est une \u00e9tape incontournable pour mener \u00e0 bien une construction g\u00e9om\u00e9trique, activit\u00e9 abordable facilement et souvent motivante pour des \u00e9l\u00e8ves de 6e<\/sup>. L\u2019envie de parvenir \u00e0 finir la construction motive l\u2019effort du raisonnement.<\/p>\n\n\n\n Remarque : ce type d\u2019exercice doit \u00eatre conduit plusieurs fois en classe mais peut ensuite \u00eatre demand\u00e9 en devoir en temps libre \u00e9valu\u00e9. En effet, m\u00eame si quelqu\u2019un ou une IA aide l\u2019\u00e9l\u00e8ve \u00e0 raisonner, on peut attendre une trace simple de ce raisonnement ou m\u00eame simplement les traits de construction qui prouveront que le raisonnement a \u00e9t\u00e9 fait en amont. Et la construction ne peut pas \u00eatre faite par une IA \u2026<\/p>\n\n\n\n La n\u00e9cessit\u00e9 d\u2019une preuve : le point de concours des m\u00e9diatrices du triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n Le fascicule R\u00e9solution de probl\u00e8mes au coll\u00e8ge reprend page 138 une activit\u00e9 propos\u00e9e par Guy Brousseau et qui peut maintenant \u00eatre conduite en 6e<\/sup>. Il s\u2019agit de l\u2019activit\u00e9 de construction dite du \u00ab co-triangle \u00bb, et intitul\u00e9e dans le fascicule \u00ab figure trompeuse \u00bb. Elle s\u2019utile en classe apr\u00e8s avoir enseign\u00e9 la m\u00e9diatrice d\u2019un triangle et dans le but d\u2019\u00e9tablir que les trois m\u00e9diatrices d\u2019un triangle sont concourantes.<\/p>\n\n\n\n Tout d\u2019abord, le professeur montre une figure qu\u2019il a trac\u00e9e sur une feuille A3 :<\/p>\n\n\n Il demande aux \u00e9l\u00e8ves de l\u2019aider \u00e0 la d\u00e9crire : il s\u2019agit d\u2019un triangle (plac\u00e9 tout en haut de la feuille) et des m\u00e9diatrices de ses trois c\u00f4t\u00e9s. Celles-ci se coupent deux \u00e0 deux en formant un petit triangle que le professeur appellera le \u00ab co-triangle \u00bb. Le triangle a un grand angle obtus (\u00ab tourn\u00e9 vers le bas \u00bb) mais il n\u2019est pas n\u00e9cessaire de le faire remarquer \u00e0 ce stade. Le grand format, le trac\u00e9 avec la r\u00e8gle et l\u2019\u00e9querre et les m\u00e9diatrices qui se coupent loin du triangle en raison de l\u2019angle obtus ont accentu\u00e9 les erreurs de trac\u00e9 et men\u00e9 \u00e0 ne pas r\u00e9ussir \u00e0 construire le point de concours. Le professeur peut avoir forc\u00e9 un peu l\u2019erreur mais il ne le mentionne surtout pas. La consigne est alors : \u00ab je vous demande de tracer un triangle, celui que vous voudrez, et de construire les m\u00e9diatrices de ses c\u00f4t\u00e9s afin d\u2019obtenir le co-triangle le plus grand possible \u00bb.<\/p>\n\n\n\n Or, au contraire, plus les \u00e9l\u00e8ves s\u2019appliquent, et plus le co-triangle dispara\u00eet \u2026 Le raisonnement est alors la seule solution pour comprendre ce ph\u00e9nom\u00e8ne.<\/p>\n\n\n\n Une fois la preuve de la concourance des m\u00e9diatrices \u00e9tablie, le professeur devra expliquer pourquoi il avait une erreur manifeste mais normale car les trac\u00e9s sont vite impr\u00e9cis en g\u00e9om\u00e9trie. Il fait ainsi appara\u00eetre que l\u2019on doit malgr\u00e9 tout s\u2019appliquer le plus possible en construction \u00e0 la main, mais que seul le raisonnement s\u2019appuyant sur des propri\u00e9t\u00e9s d\u00e9j\u00e0 \u00e9tablies permet d\u2019\u00eatre s\u00fbr d\u2019un autre r\u00e9sultat.<\/p>\n\n\n\n Pendant tout le reste de l\u2019ann\u00e9e scolaire, l\u2019activit\u00e9 du co-triangle devient la r\u00e9f\u00e9rence partag\u00e9e lorsque les \u00e9l\u00e8ves concluent trop vite ou rechignent \u00e0 \u00e9tablir un raisonnement rigoureux.<\/p>\n\n\n\n Attention, la preuve de l\u2019existence du point de concours des m\u00e9diatrices est men\u00e9e par le professeur avec les \u00e9l\u00e8ves, elle donne lieu \u00e0 des formulations pr\u00e9cises, rigoureuses, et vari\u00e9es, mais elle est formalis\u00e9e le moins possible \u00e0 l\u2019\u00e9crit.<\/p>\n\n\n L\u2019existence du point d\u2019intersection des deux premi\u00e8res m\u00e9diatrices n\u2019a pas \u00e0 \u00eatre d\u00e9montr\u00e9e en 6e<\/sup>, m\u00eame si on peut mentionner pourquoi il existe.<\/p>\n\n\n\n Conclusion<\/strong><\/p>\n\n\n\n \u00ab\u00a0Le passage de la g\u00e9om\u00e9trie perceptive \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie du raisonnement est d\u00e9licat et doit \u00eatre accompagn\u00e9 de situations-probl\u00e8mes qui illustrent la force du raisonnement.\u00a0\u00bb (Fascicule R\u00e9solution de probl\u00e8mes au coll\u00e8ge<\/a> page 156).<\/p>\n\n\n\n Les raisonnements et preuves doivent s\u2019appuyer sur des \u00e9nonc\u00e9s, clairs et distincts, de d\u00e9finitions (voir document Tableaux d\u00e9finitions et preuves.pdf)<\/a> et propri\u00e9t\u00e9s, que les \u00e9l\u00e8ves doivent m\u00e9moriser, notamment gr\u00e2ce \u00e0 leur r\u00e9p\u00e9tition dans le temps, lors d\u2019exercices de g\u00e9om\u00e9trie ou de questions-flash. Le professeur en m\u00e8ne seul (ou avec les \u00e9l\u00e8ves) plusieurs, puis il peut leur apprendre \u00e0 les appliquer dans des exercices de calcul.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" La formation au raisonnement et l\u2019initiation \u00e0 la d\u00e9monstration sont toujours des objectifs du cycle 4, comme dans les programmes pr\u00e9c\u00e9dents. Mais l\u2019\u00e9l\u00e8ve de cycle 3 raisonne aussi et le professeur l\u2019aide \u00e0 mettre en mots, oralement, les \u00e9tapes de ses raisonnements, les sens d\u00e9ductifs et les quantificateurs. Lui-m\u00eame doit se montrer tr\u00e8s pr\u00e9cis, expliciter … <\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2026\/01\/image-9.png\")
<\/figure>\n\n\n\n = 50\u00b0. \u00bb Les \u00e9l\u00e8ves qui vont trop vite verront leur erreur avec un calque d\u2019auto-correction. Le professeur les oriente alors en leur faisant constater que, soit ils n\u2019ont pas fait le sch\u00e9ma cod\u00e9 demand\u00e9 en premier, soit il ne correspond pas \u00e0 la description de la figure donn\u00e9e dans l\u2019\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n\n\n\n
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<\/figure>\n\n\n\n.<\/p>\n\n\n\n
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<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2026\/01\/Capture-de\u0301cran-2026-01-05-a\u0300-16.25.16.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/ent2d.ac-bordeaux.fr\/disciplines\/mathematiques\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2026\/01\/Capture-de\u0301cran-2025-12-21-a\u0300-10.55.30.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n