Dans un premier temps, on peut guider les \u00e9l\u00e8ves en leur posant des questions cibl\u00e9es, comme \u00ab que peut-on dire du point A par rapport au segment [EI] dans la figure b ? \u00bb, voire ferm\u00e9es \u00ab Pourquoi la droite (AD) est-elle la m\u00e9diatrice du segment [BC] dans la figure c ? \u00bb, sachant que les \u00e9l\u00e8ves peuvent utiliser ici aussi bien la d\u00e9finition de la m\u00e9diatrice d\u2019un segment (droite coupant le segment perpendiculairement et en son milieu) ou sa propri\u00e9t\u00e9 caract\u00e9ristique (ensemble des points \u00e9quidistants des extr\u00e9mit\u00e9s du segment), mais on les am\u00e8ne \u00e0 choisir entre les deux, sans faire la liste exhaustive de tout ce qu\u2019ils voient et peuvent utiliser comme codages.<\/p>\n\n\n\n
Rappel :<\/u> en math\u00e9matiques, une propri\u00e9t\u00e9 caract\u00e9ristique est une propri\u00e9t\u00e9 que poss\u00e8de l\u2019objet consid\u00e9r\u00e9 (et d\u00e9j\u00e0 d\u00e9fini), et que poss\u00e8dent seulement les objets identiques \u00e0 lui. Elle permet ainsi de caract\u00e9riser, de red\u00e9finir, l\u2019objet. Elle doit \u00eatre \u00e9nonc\u00e9e clairement dans les deux sens logiques, direct et r\u00e9ciproque.<\/em><\/p>\n\n\n\n Dans un second temps, des figures proches des figures a, b et c pourraient \u00eatre donn\u00e9es avec une consigne plus ouverte : \u00ab Quelles informations vous donnent ces figures ? \u00bb ou \u00ab Quelles \u00e9galit\u00e9s de longueur pouvez-vous \u00e9crire ? \u00bb. Les figures d, e et f peuvent alors \u00eatre utilis\u00e9es avec une consigne ouverte, par exemple \u00ab pour chacune des figures, apr\u00e8s avoir fait la liste de tous les \u00e9l\u00e9ments g\u00e9om\u00e9triques connus, indiquer les propri\u00e9t\u00e9s que l\u2019on peut en d\u00e9duire, voire les natures exactes des quadrilat\u00e8res \u00bb. On invite ainsi les \u00e9l\u00e8ves \u00e0 prendre le temps de lire les codages et \u00e9l\u00e9ments de texte joints, puis \u00e0 \u00e9tablir des propri\u00e9t\u00e9s de ces figures. On pourra les aider en leur demandant si le quadrilat\u00e8re d est un trap\u00e8ze, si le point L est le centre du grand cercle passant par A et M, ou si le quadrilat\u00e8re JOLI est un carr\u00e9. Ces r\u00e9ponses devront \u00eatre justifi\u00e9es oralement.<\/p>\n\n\n\nEn fin de 6\u00e8me<\/sup>, on attend que la lecture et la compr\u00e9hension des figures a, b et c soit automatis\u00e9e, sinon un travail sp\u00e9cifique devra \u00eatre men\u00e9 avec les \u00e9l\u00e8ves qui en ont besoin pendant que les autres travailleront sur des figures plus complexes.<\/p>\n\n\n\nInversement, on pourra mener un travail r\u00e9p\u00e9t\u00e9 dans l\u2019ann\u00e9e sur la traduction d\u2019un texte d\u00e9crivant une figure en un sch\u00e9ma cod\u00e9 qui servira, par la suite, de support au raisonnement (voir article ou partie Repr\u00e9senter et observer les figures pour raisonner en 6e<\/sup><\/strong>).<\/p>\n\n\n\nD\u00e9couvrir une propri\u00e9t\u00e9 sans la d\u00e9montrer<\/strong><\/p>\n\n\n\nDans le travail sur les angles et les triangles, qui sont des parties importantes du nouveau programme de 6\u00e8me<\/sup> (2025), l\u2019\u00e9l\u00e8ve doit apprendre que la somme des angles d\u2019un triangle est \u00e9gale \u00e0 180\u00b0. Or sans la connaissance de la sym\u00e9trie centrale, il n\u2019est pas possible de d\u00e9montrer cette propri\u00e9t\u00e9. On reste donc d\u2019abord sur une g\u00e9om\u00e9trie perceptive et une g\u00e9om\u00e9trie des instruments pour \u00e9tablir ce r\u00e9sultat. On peut donner un triangle diff\u00e9rent \u00e0 tous les \u00e9l\u00e8ves et leur demander de mesurer les trois angles au rapporteur puis de les ajouter. Chaque \u00e9l\u00e8ve va obtenir une somme proche de 180\u00b0, mais qui souvent ne sera pas 180\u00b0 : en effet, les mesures d\u2019angles sont souvent impr\u00e9cises en raison de la difficult\u00e9 de manipulation, notamment pour les triangles les plus petits pour lesquels il aura fallu prolonger les c\u00f4t\u00e9s (on pourra ainsi donner aux \u00e9l\u00e8ves les plus minutieux et soigneux les figures les plus petites). L\u2019usage du logiciel Geogebra par le professeur permet ensuite d\u2019affiner la conjecture (raisonnement inductif) : en d\u00e9pla\u00e7ant les sommets du triangle construit, on explique aux \u00e9l\u00e8ves qu\u2019on fait appara\u00eetre une tr\u00e8s grande quantit\u00e9 de triangles diff\u00e9rents. Pourtant la somme des angles que l\u2019on aura affich\u00e9e restera inchang\u00e9e. Ce raisonnement inductif conduit \u00e0 l\u2019\u00e9laboration d\u2019une conjecture, que l\u2019on formulera avec \u00ab si \u2026 alors \u2026 \u00bb pour faire appara\u00eetre le sens logique. Par exemple, \u00ab si une figure est un triangle, alors la somme de ses angles est \u00e9gale \u00e0 180\u00b0 \u00bb (des reformulations sans le mot somme seront utiles ensuite pour nombre d\u2019\u00e9l\u00e8ves). Le professeur doit ensuite expliquer que ce r\u00e9sultat doit \u00eatre prouv\u00e9, qu\u2019il ne d\u00e9pend pas de lui, d\u2019eux, ni des exemples qu\u2019il a donn\u00e9s sur papier ou qu\u2019il a fait appara\u00eetre sur Geogebra, mais qu\u2019il est vrai dans tout l\u2019univers. Les connaissances de 5\u00e8me<\/sup> permettront de le prouver et en 6e<\/sup>, on mentionnera que cette propri\u00e9t\u00e9 est admise. Une activit\u00e9 de d\u00e9coupage et manipulation de triangles dont les trois angles ont \u00e9t\u00e9 marqu\u00e9s diff\u00e9remment permet, comme le pr\u00e9conise le document \u00ab exemples de mise en \u0153uvre \u2013 6e<\/sup> \u00bb, de s\u2019appuyer \u00ab sur l\u2019accolement de [trois] triangles identiques pour constater que la somme des angles d\u2019un triangle est un angle plat avant d\u2019admettre ce r\u00e9sultat \u00bb. Pour cette activit\u00e9, on utilisera le vocabulaire \u00ab somme des trois angles adjacents \u00bb, le terme \u00ab suppl\u00e9mentaires \u00bb \u00e9tant r\u00e9serv\u00e9 \u00e0 deux angles. Vigilance : il peut \u00eatre difficile pour des \u00e9l\u00e8ves de transf\u00e9rer le r\u00e9sultat de la somme des trois angles accol\u00e9s, chacun appartenant \u00e0 un triangle diff\u00e9rent, \u00e0 celle des trois angles d\u2019un seul triangle.<\/p>\n\n\n\nPar la suite, le r\u00e9sultat devra \u00eatre m\u00e9moris\u00e9 puis il pourra \u00eatre utilis\u00e9 pour calculer la mesure d\u2019un angle dans un triangle sch\u00e9matis\u00e9 dont on conna\u00eet les mesures des deux autres angles, puis pour des calculs un peu plus complexes (voir article ou partie Raisonner en g\u00e9om\u00e9trie en 6e<\/sup><\/strong>)<\/p>\n\n\n\nD\u2019autres r\u00e9sultats doivent \u00eatre admis en 6e<\/sup>, peu d\u2019\u00e9l\u00e9ments pouvant \u00eatre d\u00e9montr\u00e9s par les \u00e9l\u00e8ves ou m\u00eame par le professeur, en particulier :<\/p>\n\n\n\n
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